선형대수의 본질 Ch.10 — 외적 (Cross Product)
📅 2026-04-08
🎥 출처: 외적 | 선형대수의 본질 Chapter 10
1. 외적이란 무엇인가 — 직관부터
외적을 처음 배울 때 흔히 "공식 암기"부터 시작하지만, 그보다 먼저 왜 이런 연산이 필요한가를 이해하는 것이 중요하다.
두 벡터 v와 w가 공간에 있을 때, 이들은 자연스럽게 하나의 평행사변형을 정의한다.
w
/|
/ |
/ |
v───┘이 평행사변형은 두 가지 정보를 담고 있다:
- 넓이 — 두 벡터가 얼마나 "펼쳐져 있는가"
- 방향(방향성) — 어느 쪽이 "앞"인가
외적은 이 두 정보를 하나의 연산으로 인코딩한다.
2. 2D 외적 — 스칼라로서의 면적
2차원에서 두 벡터 v, w의 외적 v × w는 스칼라(숫자)다.
📐 기하학적 의미
| 상황 | 외적 값 |
|---|---|
| v가 w의 오른쪽에 위치 | 양수(+) = 평행사변형 넓이 |
| v가 w의 왼쪽에 위치 | 음수(−) = 넓이의 반대 부호 |
| v와 w가 평행 | 0 |
"오른쪽/왼쪽"이 왜 중요한가?
이것은 사실 방향성(orientation)의 문제다.
벡터의 순서 (v → w)가 반시계 방향을 이루면 양수, 시계 방향이면 음수다.
이 개념은 행렬식이 부호를 가지는 이유와 완전히 같다.
🔢 계산 방법 — 왜 행렬식인가
2D 외적은 다음과 같이 계산한다:
v = (v₁, v₂), w = (w₁, w₂)
| v₁ w₁ |
v × w = | | = v₁w₂ − v₂w₁
| v₂ w₂ |왜 행렬식을 쓰는가?
행렬식은 선형 변환이 넓이를 얼마나 늘리거나 줄이는지를 측정한다 (Ch.06).
두 벡터 v, w를 열로 하는 행렬을 생각하면:
- 이 행렬은 표준 기저 벡터 î = (1,0), ĵ = (0,1)을 v, w로 보내는 선형 변환이다
- î와 ĵ가 이루는 단위 정사각형의 넓이는 1
- 변환 후 이 정사각형은 v와 w가 이루는 평행사변형이 된다
- 따라서 행렬식 = 변환 후 넓이 / 변환 전 넓이 = 평행사변형의 넓이
부호가 음수면 방향이 뒤집힌 것, 즉 v가 w의 왼쪽에 있다는 뜻이다.
예시 계산
v = (−3, 1), w = (2, 1):
v × w = (−3)(1) − (1)(2) = −3 − 2 = −5- 넓이 = 5
- 부호 음수 → v가 w의 왼쪽 → 방향성이 시계 방향 ✓
3. 3D 외적 — 벡터로서의 결과
3차원에서 진정한 의미의 외적은 결과가 벡터다. 이것이 2D와의 핵심 차이다.
📐 결과 벡터의 두 가지 속성
| 속성 | 내용 |
|---|---|
| 크기(magnitude) | v와 w가 이루는 평행사변형의 넓이 |
| 방향 | 평행사변형이 놓인 평면에 수직 (법선 벡터) |
왜 결과가 벡터인가?
3차원 공간에서 평행사변형은 하나의 평면 위에 있고, 그 평면에 수직인 방향은 하나의 직선 (두 방향)이다.
이 "수직 방향 + 넓이 정보"를 동시에 표현하는 가장 자연스러운 방법이 벡터다.
즉, 외적은 "이 평면에 이 크기로 서있는 화살표"를 반환한다.
🤚 오른손 법칙 — 방향 결정
평면에 수직인 방향은 2개(위/아래)이므로, 규칙이 필요하다.
- 오른손 검지를 v 방향으로
- 오른손 중지를 w 방향으로
- 오른손 엄지가 가리키는 방향 = v × w 의 방향
이 규칙은 임의적으로 보이지만, 사실 수학에서 좌표계의 오른손 방향성(right-handedness)과 일관된다. 행렬식의 부호가 방향성을 인코딩하듯, 오른손 법칙은 3D에서의 방향성을 표준화한다.
예시:
ẑ × ŷ를 계산하면 방향은 −x̂ 방향이다.
검증:
- 검지를 +z (위), 중지를 +y (앞)로 향하면 엄지는 −x (왼쪽) 를 가리킨다 ✓
4. 3D 외적 계산 — 기저 벡터 행렬식 트릭의 이유
3D 외적의 계산식은 처음 보면 이상하다.
| î v₁ w₁ |
v × w = | ĵ v₂ w₂ |
| k̂ v₃ w₃ |첫 번째 열에 숫자가 아닌 기저 벡터 î, ĵ, k̂ 를 넣는다. 왜 이렇게 하는가?
🔑 코팩터 전개로 풀어보기
첫 번째 열을 기준으로 전개하면:
= î · (v₂w₃ − v₃w₂)
− ĵ · (v₁w₃ − v₃w₁)
+ k̂ · (v₁w₂ − v₂w₁)이를 성분으로 정리하면:
v × w = ( v₂w₃ − v₃w₂,
v₃w₁ − v₁w₃,
v₁w₂ − v₂w₁ )각 성분은 나머지 두 축이 이루는 2D 외적이다:
- x 성분 = y-z 평면에서의 외적
- y 성분 = z-x 평면에서의 외적
- z 성분 = x-y 평면에서의 외적
🧠 이게 단순 트릭이 아닌 이유 — 이중성(Duality)
이 계산 방식은 선형대수의 이중성(duality)에서 자연스럽게 유도된다.
이중성이란 간단히 말해:
n차원 공간에서 벡터 → 스칼라로 가는 선형 변환과 벡터 내적 사이에는 1:1 대응이 있다.
v × w를 구하는 과정을 이렇게 볼 수 있다:
- 임의의 벡터 u를 받아
det([u, v, w])를 계산하는 선형 함수 f를 정의 - 이 f는 "u와 내적하면 동일한 결과를 주는 어떤 벡터 p"로 표현 가능 (이중성에 의해)
- 그 p가 바로 v × w
따라서 기저 벡터를 넣는 것은 "내적을 통해 각 방향 성분을 추출하는 과정"을 행렬식 표기법으로 표현한 것이다. 우연이 아니라 필연이다.
5. 외적의 크기 공식과 직관
‖v × w‖ = ‖v‖ · ‖w‖ · sin θ여기서 θ는 두 벡터 사이의 각도.
| 각도 | sin θ | 외적 크기 |
|---|---|---|
| 0° (평행) | 0 | 0 — 평행사변형 넓이 없음 |
| 30° | 0.5 | 최대의 절반 |
| 90° (직교) | 1 | 최대 = ‖v‖·‖w‖ |
| 180° (반평행) | 0 | 0 — 다시 평행 |
비교: 내적(dot product)은 ‖v‖·‖w‖·cos θ
- 내적은 같은 방향일수록 크다 (cos)
- 외적은 수직일수록 크다 (sin)
- 두 연산은 서로 보완적인 기하학적 정보를 담는다
6. 외적의 응용
외적은 단순한 수학 도구를 넘어 물리학과 그래픽에서 핵심적으로 쓰인다.
| 분야 | 응용 |
|---|---|
| 3D 그래픽 | 표면의 법선 벡터 계산 (빛 반사, 음영 처리) |
| 물리학 | 토크(torque): τ = r × F |
| 물리학 | 자기력: F = q(v × B) |
| 기하학 | 두 벡터가 이루는 평면 결정 |
| 물리학 | 각운동량: L = r × p |
핵심 정리 한눈에
2D 외적 → 스칼라. 행렬식으로 계산. 부호 = 방향성
3D 외적 → 벡터. 크기 = 평행사변형 넓이, 방향 = 수직
오른손 법칙 → v → w 순으로 손가락 구부릴 때 엄지 방향
계산 (3D) → 첫 열에 î ĵ k̂, 나머지에 v, w 좌표 → 행렬식
‖v × w‖ → ‖v‖·‖w‖·sin θ (직교할 때 최대)
내적 vs 외적 → cos θ (평행할수록 큼) vs sin θ (수직할수록 큼)
이중성(duality) → 기저 벡터를 넣는 계산법의 수학적 근거 (선형함수 ↔ 벡터)
외적 = 0 → 두 벡터가 평행하거나 하나가 영벡터다음 챕터 예고
Ch.11 — 기저 변환 (Change of Basis)
같은 벡터를 서로 다른 좌표계로 표현하는 방법 — "같은 현실을 다른 언어로 말하기"
행렬 M⁻¹AM 형태의 켤레 변환(conjugation)이 왜 등장하는지 기하학적으로 이해한다.
댓글