반응형 전체 글127 선형대수학 Ch.15 — 고유값을 빠르게 구하는 평균-곱 트릭 (Quick Eigenvalues)📅 2026-04-13🎥 출처: A quick trick for computing eigenvalues (3Blue1Brown)평균-곱 트릭 핵심 개념 요약 📅 2026-04-13🎥 출처: A quick trick for computing eigenvalues (3Blue1Brown) 1. 문제 제기 — 기존 방식은 왜 번거로운가?Ch.14에서 고유값을 구하는 방법으로 특성방정식을 배웠다:det(A−λI)=02×2 행렬 $\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$에 적용하면:det[a−λb cd−λ]=(a−λ)(d−λ)−bc=0λ2−(a+d)λ+(ad−bc)=0이를 근의 공식으로 풀면 답이 나오지만, 단계가 많고 실수가 잦다.새로운 질문: 이 이차방정식을 명시적으로 쓰지 않고, 행렬에서 바로 고유값을 읽어낼 수 있을까?2. 핵심 두 가지 사실 — 자취와 행렬식2×2 행렬의 두 고유값을 λ1, λ2라 할 때:사실 1: .. 2026. 4. 13. 선형대수학 Ch.14 — 고유벡터와 고유값 (Eigenvectors & Eigenvalues) 선형대수학의 본질 Ch.14 — 고유벡터와 고유값 (Eigenvectors & Eigenvalues)📅 2026-04-13🎥 출처: Essence of Linear Algebra – Chapter 14: Eigenvectors and eigenvalues (3Blue1Brown)1. 개요 — 왜 고유벡터/고유값인가?고유벡터(Eigenvector)와 고유값(Eigenvalue)은 선형대수학에서 "변환의 본질을 꿰뚫는 렌즈" 역할을 한다.대부분의 교과서는 행렬식 계산과 특성방정식 풀이에 집중하지만, 3Blue1Brown은 기하학적 직관을 먼저 강조한다:"선형 변환을 가했을 때, 방향이 바뀌지 않는 특별한 벡터가 있다."이 개념을 이해하려면 아래 개념들이 선행되어야 한다.선행 개념핵심 내용선형 변환과 행렬.. 2026. 4. 13. 선형대수학 Ch.13 — 기저 변환 (Change of Basis) 📅 2026-04-09🎥 출처: Essence of linear algebra, Chapter 13 — 3Blue1Brown1. 표준 기저(Standard Basis)와 좌표의 의미벡터의 **좌표(coordinates)**란 결국 "어떤 기저 벡터를 얼마만큼 사용하느냐"를 나타내는 스칼라 쌍이다.예를 들어 (3,2)라는 좌표는 아래를 의미한다:v→=3i^+2j^요소의미i^=(1,0)오른쪽 방향 단위 벡터j^=(0,1)위쪽 방향 단위 벡터좌표 (3,2)각 기저 벡터에 대한 스칼라직관: 좌표는 "공간 속 절대 위치"가 아니라 "현재 내가 사용하는 기저 벡터 기준의 상대적 위치" 다.기저가 바뀌면, 같은 벡터도 다른 숫자로 표현된다.2. 다른 기저 — Jennifer의 좌표계Jennifer는 아래 두 벡터.. 2026. 4. 13. 선형대수학 Ch.12 — 크라메르 공식 (Cramer's Rule) 선형대수의 본질 Ch.12 — 크라메르 공식 (Cramer's Rule)📅 2026-04-08🎥 출처: 크라메르 공식 소개 및 기하학적 의미 — LiveWiki1. 크라메르 공식이란?크라메르 공식(Cramer's Rule) 은 연립 선형 방정식의 해를 행렬식(determinant) 만으로 표현하는 공식이다.연립방정식 Ax = b 에서, 해 벡터 x의 각 성분을 다음과 같이 구한다: det(A_i)x_i = ────────── det(A)여기서 A_i는 행렬 A의 i번째 열을 벡터 b로 교체한 행렬이다.왜 크라메르 공식이 중요한가?수치 계산에선 가우스 소거법이 더 효율적이지만, 크라메르 공식은 행렬식과 연립방정식이 어떻게 연결되는지를 기하학적으로 드러낸다. 수식의 구조 자체가 .. 2026. 4. 8. 선형대수학 Ch.11 — 외적과 쌍대성 (Cross Product & Duality) 선형대수의 본질 Ch.11 — 외적과 쌍대성 (Cross Product & Duality)📅 2026-04-08🎥 출처: 외적과 선형 변환 | 선형대수의 본질 Chapter 111. 이 챕터의 목표 — "왜" 를 밝히다Ch.10에서 우리는 3D 외적을 계산하는 방법을 배웠다: | î v₁ w₁ |v × w = | ĵ v₂ w₂ | | k̂ v₃ w₃ |그런데 왜 첫 번째 열에 기저 벡터를 넣는가? 이것은 그냥 암기용 트릭인가?이 챕터의 답: 아니다. 이 계산 방식은 쌍대성(duality)이라는 깊은 수학적 원리에서 자연스럽게 도출된다. 계산 → 기하학 사이의 다리를 이해하면, 외적이 왜 그런 기하학적 의미를 가지는지가 필연적으로 따라온다.필요한 배경 지식.. 2026. 4. 8. 선형대수학 Ch.10 — 외적 (Cross Product) 선형대수의 본질 Ch.10 — 외적 (Cross Product)📅 2026-04-08🎥 출처: 외적 | 선형대수의 본질 Chapter 101. 외적이란 무엇인가 — 직관부터외적을 처음 배울 때 흔히 "공식 암기"부터 시작하지만, 그보다 먼저 왜 이런 연산이 필요한가를 이해하는 것이 중요하다.두 벡터 v와 w가 공간에 있을 때, 이들은 자연스럽게 하나의 평행사변형을 정의한다. w /| / | / |v───┘이 평행사변형은 두 가지 정보를 담고 있다:넓이 — 두 벡터가 얼마나 "펼쳐져 있는가"방향(방향성) — 어느 쪽이 "앞"인가외적은 이 두 정보를 하나의 연산으로 인코딩한다.2. 2D 외적 — 스칼라로서의 면적2차원에서 두 벡터 v, w의 외적 v × w는 스칼라(숫자)다.📐 기하학적 의.. 2026. 4. 8. 선형대수학 Ch.9 — 내적과 쌍대성 (Dot Products and Duality) 선형대수학 Ch.9 — 내적과 쌍대성 (Dot Products and Duality)📅 2026-04-06🎥 출처: Dot products and duality | 3Blue1Brown📖 참고: LiveWiki 요약1. 내적의 수치적 계산같은 차원의 두 벡터에 대해 좌표를 짝지어 곱한 뒤 합산:v = (1, 2), w = (3, 4)v · w = (1×3) + (2×4) = 3 + 8 = 11일반적으로:v · w = v₁w₁ + v₂w₂ + ... + vₙwₙ2. 내적의 기하학적 해석v · w = (w를 v 방향으로 투영한 길이) × (v의 길이)조건내적 값같은 방향양수 (> 0)수직0반대 방향음수 (순서 교환 가능: v → w 투영 = w → v 투영 (스케일링 대칭)v · w = w · v3... 2026. 4. 7. 선형대수학 Ch.8 — 차원 간 변환과 비정방 행렬 (Nonsquare Matrices as Transformations Between Dimensions) 선형대수학 Ch.5 — 차원 간 변환과 비정방 행렬 (Nonsquare Matrices as Transformations Between Dimensions)📅 2026-04-06🎥 출처: Nonsquare matrices as transformations between dimensions | 3Blue1Brown📖 참고: LiveWiki 요약1. 차원 간 변환도 선형 변환이다지금까지의 논의는 주로 같은 차원 내의 변환 (2D → 2D, 3D → 3D)이었지만,다른 차원 간의 변환도 완벽하게 합리적인 선형 변환이다.선형 변환의 특징은 차원이 달라도 동일하게 유지된다:격자선이 평행하고 등간격 유지원점은 원점으로 매핑시각화 포인트: 입력 공간과 출력 공간이 다르기 때문에,같은 공간에서 변환되는 것처럼 보.. 2026. 4. 6. 이전 1 2 3 4 ··· 16 다음 반응형
